纳维尔-斯托克斯
方程：理解与应用
导言
纳维尔-斯托克斯方程是流体力学中的基本方程之一，描述了流体
运动的数学模型。它通过将流体视为连续介质（即可以被无限细分而不会改变其性质）来表述其运动状态。本文将从张量语言的
角度阐述纳维尔-斯托克斯方程，并探讨其与牛顿运动
定律之间的关联。
纳维尔-斯托克斯方程
在张量标示法中，纳维尔-斯托克斯方程可以表示为：
$$\rho\frac{\partial v_i}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \eta\nabla^2 v_i + \rho f_i$$
其中：
$\rho$ 是流体的密度
$v_i$ 是流体速度
矢量的分量
$t$ 是
时间
$p$ 是压力
$\eta$ 是流体的动态粘度
$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子
$f_i$ 是作用在流体上的外部体积力
牛顿运动定律的应用
牛顿第三定律指出，作用力和反作用力大小相等，方向相反。在流体力学中，这一定律表现为作用在流体微元上的总力等于流体微元内部
应力产生的合力。流体应力张量 $\sigma_{ij}$ 表示流体内部的应力状态，其中 $i$ 和 $j$ 分别表示张量的前后两个指标。
通过张量
分析，可以证明作用在流体微元上的合力可以表示为：
$$\rho\frac{\partial v_i}{\partial t} = -\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j}$$
将流体应力张量分解为压强项和粘滞项，我们可以得到：
$$\sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + \eta\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)$$
其中：
$\delta_{ij}$ 是
发表评论