宇宙的回响

引力波的证据与引力微扰方程的推导 引力波的历史回顾 广义相对论预言了引力波的存在，但证明其存在并非易事。 1916 年，爱因斯坦提出引力波可能是类似于电磁波的存在。 1922 年，爱丁顿质疑引力波的真实性，认为它们可能没有实际的能量。 20 世纪 50 年代，邦迪、皮拉尼和罗宾逊证实引力波携带能量。 1957 年，邦迪通过 Bondinews 描述了引力波从源的辐射。 1962 年，萨克斯和波多尔斯基使用纽曼-彭罗斯形式提出了 Sachs-Goldberg 公式。 这些工作确立了引力波在广义相对论中的存在。 引力波的探测 1969-1970 年，韦伯声称探测到引力波，但未得到验证。 1974 年，霍尔斯和泰勒发现第一个脉冲双星系统 PSRB1913+16。轨道衰减证实了引力波耗散。 2015 年，LIGO 探测到第一个引力波事件 GW150914，开启了引力波天文学时代。 弱场下的引力微扰方程 在弱场情况下，爱因斯坦方程可以形式化为波动方程。以下是其推导过程： 时空的微扰度规 对时空度规 $g_{\mu\nu}$ 进行微扰，得到： $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$ 其中 $\eta_{\mu\nu}$ 是平直闵可夫斯基度规，$h_{\mu\nu}$ 是微扰度规。 爱因斯坦方程的线性化 使用爱因斯坦方程： $$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$ 其中 $R_{\mu\nu}$ 是里奇张量，$R$ 是里奇标量，$T_{\mu\nu}$ 是应力-能量张量。 将微扰度规代入并线性化，得到： $$\partial_\alpha \partial^\alpha h_{\mu\nu} - \partial_\mu \partial_\nu h - \eta_{\mu\nu} \Box h = \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$ 其中 $\Box$ 是达朗贝尔算子。 波动方程 调整 $T_{\mu\nu}$ 的形式，使其只包含源项，得到： $$\partial_\alpha \partial^\alpha h_{\mu\nu} - \partial_\mu \partial_\nu h - \eta_{\mu\nu} \Box h = 4\partial_\mu \partial_\nu \Phi$$ 其中 $\Phi$ 是源项。 使用洛伦兹规范条件： $$\partial^\alpha h_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}\partial_\mu h$$ 可以消除 $h$ 项，得到： $$\Box h_{\mu\nu} = - \partial_\mu \partial_\nu \Phi$$ 这就是引力微扰的波动方程，它描述了引力波在弱场条件下的传播。