回顾
在上两节直播课中，
张朝阳博士使用微分几何的语言计算了
斯托克斯力，得到了斯托克斯力的形式。整个过程中仍然留有一个悬疑，即从微分几何的角度理解应力张量。本次直播课将彻底解决这一疑惑。
单位基矢和坐标基矢
回顾上节直播课的数学符号精神，在球坐标系下，单位基矢表示为：
e_r = ∂/∂r
e_θ = ∂/∂θ
e_φ = ∂/∂φ
对这些单位基矢求偏导的结果可以使用空间几何的方式求出，其结果为：
∇e_r = e_θ⊗ e_φ - e_φ ⊗ e_θ
∇e_θ = e_φ ⊗ e_r - e_r ⊗ e_φ
∇e_φ = e_r ⊗ e_θ - e_θ ⊗ e_r
坐标基矢表示为：
e^r = r
e^θ = θ
e^φ = φ
在球坐标系下，这三个坐标基矢不是正交归一的，具体为：
e^r · e^θ = e^r · e^φ = e^θ · e^φ = 0
g_{rr} = 1, g_{θθ} = r^2, g_{φφ} = r^2 sin^2θ
其他的度规分量都为 0。这也反映了三维欧氏空间在球坐标系下的度规为：
g = diag(1, r^2, r^2 sin^2θ)
速度矢量
一个速度矢量可以表达为：
v = v^r e_r + v^θ e_θ+ v^φ e_φ
其中，v^r、v^θ、v^φ 为向量的逆变指数，也是这个向量的分量；基矢 e_r、e_θ、e_φ 为坐标基矢，我们称为下基矢。
而对偶空间的坐标基矢为上基矢，表示为：
e^r = ∂/∂r
e^θ = r⁻¹ ∂/∂θ
e^φ = r⁻¹ sin⁻¹θ ∂/∂φ
上基矢和下基矢的点乘为：
e^i · e_j = δ^i_j
按照这个说法，原来的速度矢量可以写为：
v = v_r e^r + v_θ e^θ + v_φ e^φ
即速度矢量的逆变表示可以理解为矢量在上基矢的投影（点乘），而速度矢量的协变表示可以类似地理解为矢量在下基矢的投影（点乘）。
应力张量中梯度项的数学说明
斯托克斯定律是固体小球在流体中运动所受到的粘滞力。整个过程中雷诺数需要小于 1。在之前的课程中，我们已经求出其
大小，关键是需要引入一个应力张量：
T = -p g + 2μ (∇v + ∇v^T)
其中，p 为
压力，g 为度规，μ 为动力粘度系数，∇v 为速度梯度，T 表示转置。
在上一节直播课程中，我们不加解释地说 T 是一个二阶张量，前面的
导数算符理解为微分几何中的协变导数。在这里，我们补充说明一下。
首先需要指出的是，这里的二阶张量写出分量，两个都是逆变指标，而前面的导数算符理解为协变导数，为了指标平衡，实际需要将这个协变导数再用度规升上去，这样
才能跟应力张量的形式一致。
接着，我们再说明一下梯度在微分几何下理解后的表示形式。在矢量微积分中，一个梯度在球坐标下表示为：
∇Ψ = (∂Ψ/∂r) e_r + (r⁻¹ ∂Ψ/∂θ) e_θ + (r⁻¹ sin⁻¹θ ∂Ψ/∂φ) e_φ
我们从几何上去理解梯度，可以认为是任意一个对象 Ψ 沿着一个方向的
变化，其中底下的 l 就代表沿着 l 方向变化的一小段距离。这个沿着 l 方向有一个微小的变化可表示为一个矢量：
Δl = l^r e_r + l^θ e_θ + l^φ e_φ
在 α 方向的大小为：
ΔΨ_α = Ψ(r + l^r, θ + l^θ, φ + l^φ) - Ψ(r, θ, φ)
可重新表述这个矢量为：
ΔΨ = Ψ_α l^α
所以 Δl 为：
Δl = l^α e_α
重新代回得到：
ΔΨ = Ψ_α l^α e_α
后面的 ΔΨ 应该理解为微小的变化 dΨ，底下的两个长度乘积在我们所选取的正交标架下有如下关系：
e_i · e_j = g_{ij}
由于此处度规是对角的，度规分量的倒数就是其逆矩阵分量：
g^{ij} = g_{ij}⁻¹
那么梯度可以写为：
∇Ψ = Ψ_α g^{\alpha\beta} e_{\beta}
去掉任意对象 Ψ，我们得到了梯度的一般表述形式：
∇ = g^{\alpha\beta} ∂_{\beta}
最后，我们将梯度
作用于速度矢量，得到：
∇v = v_{\alpha,\beta} g^{\alpha\beta} e_{\beta}
最后一项中出现了一个下基矢的导数，我们知道这个肯定是下基矢的线性组合，这里我们用到了微分几何中对克氏符的理解：下基矢的导数在上基矢上的投影。因此有：
e_{i,\alpha} = Γ^β_{iα} e_{\beta}
再将
Γ^2_{12} = g^{11}
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