微分几何中的斯托克斯定律证明 张朝阳的物理课 中推导出应力张量的粘滞阻力 从

前言

在《张朝阳的物理课》的直播课中，张朝阳博士使用微分几何的语言计算了斯托克斯力。本篇文章将彻底解决从微分几何理解应力张量的难题。

回顾单位基矢和坐标基矢

在球坐标系下，单位基矢为：

$${\bf e}_\rho = \frac{\partial}{\partial \rho}, \quad {\bf e}_\theta = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad {\bf e}_\phi = \frac{1}{\rho \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi}$$

坐标基矢为：

$${\bf e}^\rho = d\rho, \quad {\bf e}^\theta = \rho d\theta, \quad {\bf e}^\phi = \rho \sin \theta d\phi$$

需要注意的是，在球坐标系下，坐标基矢不是正交归一的。

应力张量中梯度项的数学说明

斯托克斯定律是固体小球在流体中运动所受到的粘滞力。应力张量为：

$${\bf t} = -\eta \left( \nabla {\bf v} + (\nabla {\bf v})^T \right)$$

其中 ${\bf v}$ 为速度矢量，$\eta$ 为流体粘度。

梯度在微分几何下的理解为：

$${\bf \nabla} \Psi = {\bf g}^{\alpha \beta} \frac{\partial \Psi}{\partial x^\beta} \ {\bf e}_\alpha$$

其中 $\Psi$ 为标量或矢量，${\bf g}$ 为度规，${\bf e}_\alpha$ 为单位基矢。

对速度矢量求梯度得到：

$${\bf \nabla v}^i = {\bf g}^{\alpha \beta} \frac{\partial v^i}{\partial x^\beta} \ {\bf e}_\alpha$$

应力张量第二项的贡献

应力张量第二项的力面密度为：

$$p_2 = -2\eta \nabla_\alpha v_\beta {\bf n}^\beta {\bf e}^\alpha$$

其中 ${\bf n}$ 为法向矢量。

在球坐标系下，法向矢量为径向矢量 ${\bf e}_\rho$，因此 $\alpha = 1$。

克氏符为：

$${\Gamma}_{\alpha \beta}^\gamma = \frac{1}{2} g^{\gamma \delta} \left( \frac{\partial g_{\alpha \delta}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^\alpha} - \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \right)$$

计算得到：

$${\Gamma}_{11}^1 = {\Gamma}_{12}^2 = {\Gamma}_{13}^3 = 0, \quad {\Gamma}_{11}^2 = \frac{1}{\rho}, \quad {\Gamma}_{11}^3 = \frac{1}{\rho \sin \theta}, \quad {\Gamma}_{22}^2 = \frac{\cos \theta}{\rho \sin \theta}$$

代入后得到第二项的力面密度为：

$$p_2 = -2\eta \left( \frac{\partial v_1}{\partial \rho} + \frac{\cos \theta}{\rho \sin \theta} \frac{\partial v_1}{\partial \theta} + \frac{1}{\rho \sin \theta} \frac{\partial v_1}{\partial \phi} \right)$$

应力张量第三项的贡献

应力张量第三项的力面密度为：

$$p_3 = \eta {\bf T} \cdot {\bf n}$$

其中 ${\bf T}$ 为转置应力张量。

第三项的力面密度为：

$$p_3 = \eta \left( \frac{\partial v_2}{\partial \theta} + \frac{\partial v_3}{\partial \phi} - \frac{\cos \theta}{\rho \sin \theta} v_1 \right)$$

结论

本文从微分几何的角度理解了应力张量。通过计算，得到了应力张量第二项和第三项对斯托克斯定律的贡献。