探寻宇宙的声音 探索广义相对论下的线性引力波 张朝阳的物理课

引力波的背景

广义相对论的重要预言之一是引力波的存在。引力波是时空弯曲效应的传播，以光速传播。早在 1916 年，爱因斯坦就提出了引力波的概念，但其存在性直到多年后才得到证实。

引力波的探测

1974 年，罗素·霍尔斯和约瑟夫·泰勒发现了第一颗脉冲双星系统 PSRB1913+16。通过对该系统的观测，他们发现其轨道半长轴衰减与广义相对论预言的引力波耗散一致，间接证明了引力波的存在。

2015 年 9 月，激光干涉引力波天文台 (LIGO) 探测到首个引力波事件 GW150914，这是两个黑洞合并产生的引力波。这一事件确证了广义相对论，开启了引力波天文学的新时代。

弱场下引力微扰波动方程

在广义相对论中，爱因斯坦场方程可以用描述时空曲率的度规张量来表示。在弱场近似下，度规张量可以表示为平直时空度规的微扰，即：

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$

其中 $\eta_{\mu\nu}$ 是平直时空度规，$h_{\mu\nu}$ 是度规微扰。

波动方程的推导

为了推导出引力微扰的波动方程，我们可以将爱因斯坦场方程线性化，得到：

$$(1 + \frac{1}{2} h_{\alpha\beta}^{, \gamma}h_{\gamma\delta}^{, \delta}) h_{\mu\nu}^{, \alpha}h_{\alpha\nu}^{, \beta} - \frac{1}{4} \Box h_{\mu\nu} = - 8\pi G T_{\mu\nu}$$

其中 $\Box$ 是达朗贝尔算符，$G$ 是万有引力常数，$T_{\mu\nu}$ 是应力-能量张量。

进一步假设引力波在 z 方向传播，且度规微扰具有横向-横向极化，即：

$$h_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_{+} & h_{\Times} & 0 \\ 0 & h_{\times} & -h_{+} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

这样，波动方程变为：

$$\Box h_{\pm} = 0$$

这正是引力微扰的波动方程，描述了引力波在时空中的传播。

结论

引力微扰的波动方程的推导表明，在广义相对论的框架内，引力波确实存在。LIGO 的探测进一步证实了这一理论预测，揭开了引力波天文学的新篇章。